미적분 예제

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 5 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 y$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.5

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

단계 2.5.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

단계 2.6

항을 다시 정렬합니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

단계 3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에 $2 x$ 를 더합니다.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

단계 5.2

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$3 y^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

단계 5.2.2

$2 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

단계 5.2.3

$- 5 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

단계 5.2.4

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

단계 5.2.5

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

단계 5.3

인수분해합니다.

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단계 5.3.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 5.3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ 이고 합이 $b = 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 5.3.1.1.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

단계 5.3.1.1.2

$2$ 를 $- 3$ + $5$ 로 다시 씁니다.

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

단계 5.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

단계 5.3.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 5.3.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

단계 5.3.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

단계 5.3.1.3

최대공약수 $y - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

단계 5.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

단계 5.4

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ 의 각 항을 $(y - 1) (3 y + 5)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ 의 각 항을 $(y - 1) (3 y + 5)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

단계 5.4.2.2

$3 y + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

단계 5.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$