미적분 예제

$f (z) = (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 z^{3} - z)$

단계 1

$f (z) = 9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ , $g (z) = 3 z^{3} - z$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 는 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [3 z^{3} - z] + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $3 z^{3} - z$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ 가 됩니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

단계 3

$\frac{d}{d z} [3 z^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $3 z^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ 입니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

단계 3.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

단계 4

$\frac{d}{d z} [- z]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $- z$ 의 미분은 $- \frac{d}{d z} [z]$ 입니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1 \cdot 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

단계 4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

단계 5

합의 법칙에 의해 $9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ 가 됩니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 6

$\frac{d}{d z} [9 z^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1

$9$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $9 z^{4}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ 입니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 6.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 6.3

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 7

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 7.1

$3$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $3 z^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ 입니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

단계 7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

단계 7.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + \frac{d}{d z} [1])$

단계 8

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

$1$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + 0)$

단계 8.2

$36 z^{3} + 6 z$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.1.1

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

단계 9.1.2

$(3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

단계 9.1.3

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

단계 9.2

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.4.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

$9 z^{2} (9 z^{4}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.4.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$9 \cdot 9 z^{2} z^{4} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.2

지수를 더하여 $z^{2}$ 에 $z^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 9.4.2.2.1

$z^{4}$ 를 옮깁니다.

$9 \cdot 9 (z^{4} z^{2}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$9 \cdot 9 z^{4 + 2} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.2.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$9 \cdot 9 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.3

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2} z^{2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.5

지수를 더하여 $z^{2}$ 에 $z^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 9.4.2.5.1

$z^{2}$ 를 옮깁니다.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 (z^{2} z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2 + 2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.6

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.7

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.8

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.9

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.2.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.3

$27 z^{4}$ 에서 $9 z^{4}$ 을 뺍니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 9 z^{2} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.4

$9 z^{2}$ 에서 $3 z^{2}$ 을 뺍니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$ 를 전개합니다.

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단계 9.4.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3} - z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

단계 9.4.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.4.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.4.6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3} z^{3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.2

지수를 더하여 $z^{3}$ 에 $z^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.6.1.2.1

$z^{3}$ 를 옮깁니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 (z^{3} z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3 + 3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.2.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.3

$36$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{3} z + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.5

지수를 더하여 $z^{3}$ 에 $z$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.6.1.5.1

$z$ 를 옮깁니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.5.2

$z$ 에 $z^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.6.1.5.2.1

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.5.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.6

$36$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z \cdot z^{3} + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.8

지수를 더하여 $z$ 에 $z^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.6.1.8.1

$z^{3}$ 를 옮깁니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.8.2

$z^{3}$ 에 $z$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.6.1.8.2.1

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z^{1}) + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{3 + 1} + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.8.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{4} + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.9

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 z (- z)$

단계 9.4.6.1.10

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z \cdot z$

단계 9.4.6.1.11

지수를 더하여 $z$ 에 $z$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.6.1.11.1

$z$ 를 옮깁니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 (z \cdot z)$

단계 9.4.6.1.11.2

$z$ 에 $z$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z^{2}$

단계 9.4.6.1.12

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} - 6 z^{2}$

단계 9.4.6.2

$- 36 z^{4}$ 를 $18 z^{4}$ 에 더합니다.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$

단계 9.5

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

$18 z^{4}$ 에서 $18 z^{4}$ 을 뺍니다.

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 0 - 6 z^{2}$

단계 9.5.2

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 6 z^{2}$

단계 9.5.3

$6 z^{2}$ 에서 $6 z^{2}$ 을 뺍니다.

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6} + 0$

단계 9.5.4

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$

단계 9.6

$81 z^{6}$ 를 $108 z^{6}$ 에 더합니다.

$189 z^{6} - 1$