미적분 예제

$y = {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{3})$

단계 2

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (t) = t^{3}$ , $g (t) = \frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

단계 3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ 로 바꿉니다.

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

단계 3.2

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = t^{3} - 4 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{(t^{3} - 4 t) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{(t^{3} - 4 t) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.3.2

$t^{3} - 4 t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 \cdot (t^{3} - 4 t) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $t^{3} - 4 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ 가 됩니다.

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.3.5

$- 4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 4 t$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4 \cdot 1)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.3.7.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.3.7.2

$\frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{(2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)) \cdot 3}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2}$

단계 3.3.7.3

$2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 ((2 t^{3} + 2 (- 4 t)) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 t^{3} t + 2 (- 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 t^{3} t + 2 (- 4 t) t - t^{2} (3 t^{2}) - t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 t^{3} t) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6

항을 묶습니다.

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단계 3.4.6.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (2 (t^{1} t^{3})) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 (2 t^{1 + 3}) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3 (2 t^{4}) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{4} + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.5

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t \cdot t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.6

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 (t^{1} t)) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.7

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 (t^{1} t^{1})) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t^{1 + 1}) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t^{2}) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.10

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.11

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{2} t^{2}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.12

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.6.12.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 (t^{2} t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{2 + 2}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.12.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{4}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.13

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.14

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 3 (4 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.15

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.16

$6 t^{4}$ 에서 $9 t^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 t^{4} - 24 t^{2} + 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.17

$- 24 t^{2}$ 를 $12 t^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.18

${(t^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.4.6.18.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{t^{2 \cdot 2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.18.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.19

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ 에 $\frac{t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2} {(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

단계 3.4.6.20

지수를 더하여 ${(t^{3} - 4 t)}^{2}$ 에 ${(t^{3} - 4 t)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.6.20.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2 + 2}}$

단계 3.4.6.20.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{t^{4} (- 3 t^{4} - 12 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.8.1

$- 3 t^{4} - 12 t^{2}$ 에서 $3 t^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.8.1.1

$- 3 t^{4}$ 에서 $3 t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2}) - 12 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.8.1.2

$- 12 t^{2}$ 에서 $3 t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2}) + 3 t^{2} (- 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.8.1.3

$3 t^{2} (- t^{2}) + 3 t^{2} (- 4)$ 에서 $3 t^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

$\frac{t^{4} \cdot 3 t^{2} (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.8.2

지수를 더하여 $t^{4}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.8.2.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{t^{2} t^{4} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{t^{2 + 4} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.8.2.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.9

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.9.1

$t^{3} - 4 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.9.1.1

$t^{3}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t^{2} - 4 t)}^{4}}$

단계 3.4.9.1.2

$- 4 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t^{2} + t \cdot - 4)}^{4}}$

단계 3.4.9.1.3

$t \cdot t^{2} + t \cdot - 4$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t^{2} - 4))}^{4}}$

단계 3.4.9.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

단계 3.4.9.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = t$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t + 2) (t - 2))}^{4}}$

단계 3.4.9.4

$t (t + 2) (t - 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t + 2))}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t + t \cdot 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.6

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{2} + t \cdot 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.7

$t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{2} + 2 \cdot t)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.8

이항정리 이용

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.9.9.1

${(t^{2})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.4.9.9.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.1.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 4 \cdot 2 {(t^{2})}^{3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 {(t^{2})}^{3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.4

${(t^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.4.9.9.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{2 \cdot 3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{6} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.5

지수를 더하여 $t^{6}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.9.9.5.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 (t \cdot t^{6}) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.5.2

$t$ 에 $t^{6}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.9.9.5.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 (t^{1} t^{6}) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{1 + 6} + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.5.3

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.6

${(t^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.9.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{2 \cdot 2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{4} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.7

$2 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{4} (2^{2} t^{2}) + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{4} t^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.9

지수를 더하여 $t^{4}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.9.9.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} (t^{2} t^{4}) + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{2 + 4} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.9.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 4 t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.11

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.12

$2 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 t^{2} (2^{3} t^{3}) + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.13

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{2} t^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.14

지수를 더하여 $t^{2}$ 에 $t^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.9.14.1

$t^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} (t^{3} t^{2}) + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.14.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{3 + 2} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.14.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.15

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 8 t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.16

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.17

$2 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 2^{4} t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.9.18

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10

$t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.9.10.1

$t^{8}$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10.2

$8 t^{7}$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10.3

$24 t^{6}$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10.4

$32 t^{5}$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10.5

$16 t^{4}$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10.6

$t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3})$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10.7

$t^{4} (t^{4} + 8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2})$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10.8

$t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2}) + t^{4} (32 t)$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.10.9

$t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t) + t^{4} \cdot 16$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t + 16) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.11

각 항을 이항정리 공식의 항과 열결시킵니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} (t^{4} + 4 \cdot 2 t^{3} + 6 \cdot 2^{2} t^{2} + 4 \cdot 2^{3} t + 2^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.9.12

이항정리를 사용해 $t^{4} + 4 \cdot 2 t^{3} + 6 \cdot 2^{2} t^{2} + 4 \cdot 2^{3} t + 2^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.10

$t^{6}$ 및 $t^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.10.1

$t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.10.2.1

$t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}$ 에서 $t^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} ({(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4})}$

단계 3.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} ({(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4})}$

단계 3.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.11

$t^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot t^{2} (- t^{2} - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.12

$- t^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2}) - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.13

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2}) - 1 (4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.14

$- (t^{2}) - 1 (4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2} + 4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.15

$- (t^{2} + 4)$ 을 $- 1 (t^{2} + 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 t^{2} (- 1 (t^{2} + 4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(3 t^{2}) (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 3.4.17

$- \frac{(3 t^{2}) (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$