미적분 예제

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(5 t^{2} - 4 t)}^{2})$

단계 2

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 t^{2} - 4 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

단계 3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $5 t^{2} - 4 t$ 로 바꿉니다.

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $5 t^{2} - 4 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ 가 됩니다.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

단계 3.2.2

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

단계 3.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

단계 3.2.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

단계 3.2.5

$- 4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 4 t$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

단계 3.2.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

단계 3.3.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

단계 3.3.2.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

단계 3.3.3

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

단계 3.3.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

단계 3.3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

단계 3.3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.2

지수를 더하여 $t$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1.2.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.2.2

$t^{2}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1.2.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.3

$10$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.5

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1.5.1

$t$ 를 옮깁니다.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.5.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.6

$10$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.7

$10$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

단계 3.3.5.1.8

$- 8$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

단계 3.3.5.2

$- 80 t^{2}$ 에서 $40 t^{2}$ 을 뺍니다.

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$