미적분 예제

$y = {(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$

단계 1

${(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = e^{\cos (\frac{t}{7}) \cdot 4}$

단계 1.2

$\cos (\frac{t}{7})$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{4 \cos (\frac{t}{7})})$

단계 3

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = 4 \cos (\frac{t}{7})$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 \cos (\frac{t}{7})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

단계 4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 \cos (\frac{t}{7})$ 로 바꿉니다.

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

단계 4.2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 \cos (\frac{t}{7})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$ 입니다.

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})])$

단계 4.2.2

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \cdot e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$

단계 4.3

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = \frac{t}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{t}{7}$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

단계 4.3.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

단계 4.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{t}{7}$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

단계 4.4

미분합니다.

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단계 4.4.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

단계 4.4.2

$\frac{1}{7}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{7}$ 의 미분은 $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) (\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4.4.3

분수를 통분합니다.

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단계 4.4.3.1

$\frac{1}{7}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{7} e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.3.2

$\frac{- 4}{7}$ 와 $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.3.3

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7}$ 와 $\sin (\frac{t}{7})$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \cdot 1$

단계 4.4.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$