미적분 예제

$y = e^{7 t} \sin (8 t)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{7 t} \sin (8 t))$

단계 2

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (t) = e^{7 t}$ , $g (t) = \sin (8 t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{7 t} \frac{d}{d t} [\sin (8 t)] + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

단계 3.2

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = 8 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $8 t$ 로 바꿉니다.

$e^{7 t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

단계 3.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$e^{7 t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $8 t$ 로 바꿉니다.

$e^{7 t} (\cos (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$8$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $8 t$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$e^{7 t} (\cos (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{7 t} (\cos (8 t) (8 \cdot 1)) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

단계 3.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{7 t} (\cos (8 t) \cdot 8) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

단계 3.3.3.2

$\cos (8 t)$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$e^{7 t} (8 \cdot \cos (8 t)) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

단계 3.4

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = 7 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $7 t$ 로 바꿉니다.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [7 t])$

단계 3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [7 t])$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $7 t$ 로 바꿉니다.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} \frac{d}{d t} [7 t])$

단계 3.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$7$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $7 t$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} (7 \frac{d}{d t} [t]))$

단계 3.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} (7 \cdot 1))$

단계 3.5.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} \cdot 7)$

단계 3.5.3.2

$e^{7 t}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (7 \cdot e^{7 t})$

단계 3.5.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = 8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$