미적분 예제

$y = e^{\cos^{2} (π t - 9)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{\cos^{2} (π t - 9)})$

단계 2

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = \cos^{2} (π t - 9)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos^{2} (π t - 9)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos^{2} (π t - 9)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

단계 3.2

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = \cos (π t - 9)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (π t - 9)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (π t - 9)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (2 \cos (π t - 9) \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

단계 3.3

$e^{\cos^{2} (π t - 9)}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)]$

단계 3.4

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = π t - 9$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $π t - 9$ 로 바꿉니다.

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [π t - 9])$

단계 3.4.2

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{3})$ 입니다.

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

단계 3.4.3

$u_{3}$ 를 모두 $π t - 9$ 로 바꿉니다.

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (- \sin (π t - 9) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

단계 3.5

미분합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (\sin (π t - 9) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

단계 3.5.2

합의 법칙에 의해 $π t - 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 가 됩니다.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

단계 3.5.3

$π$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $π t$ 의 미분은 $π \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

단계 3.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

단계 3.5.5

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π + \frac{d}{d t} [- 9])$

단계 3.5.6

$- 9$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π + 0)$

단계 3.5.7

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.7.1

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) π$

단계 3.5.7.2

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) π$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = - 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$