미적분 예제

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + \sqrt{t}})$

단계 1

유리 지수를 사용하여 우변을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}})$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}}$ 을(를) ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = 4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

단계 3

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 4.2

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$4 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$4 (\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.9

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.11

$\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.12

$\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.13

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.14

공약수로 약분합니다.

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단계 4.14.1

$2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.15

합의 법칙에 의해 $1 + t^{\frac{1}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.16

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.17

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.18

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 4.19

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 4.20

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 4.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 4.22

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.22.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 4.22.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

단계 4.23

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

단계 4.24

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 4.25

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

단계 4.26

식을 간단히 합니다.

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단계 4.26.1

${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.26.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.27

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.28

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.29

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$