미적분 예제

$y = \frac{2 x^{2} - 5 x}{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 5 x}{3})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

$2 x^{2} - 5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1.1

$2 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) - 5 x}{3}]$

단계 3.1.1.2

$- 5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) + x \cdot - 5}{3}]$

단계 3.1.1.3

$x (2 x) + x \cdot - 5$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x - 5)}{3}]$

단계 3.1.2

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x (2 x - 5)}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = 2 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [2 x - 5] + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $2 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (x (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{1}{3} (x (2 + 0) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (x \cdot 2 + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.6.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{3} (2 \cdot x + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (2 x + (2 x - 5) \cdot 1)$

단계 3.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.8.1

$2 x - 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (2 x + 2 x - 5)$

단계 3.3.8.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (4 x - 5)$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} (4 x) + \frac{1}{3} \cdot - 5$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

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단계 3.4.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5$

단계 3.4.2.2

$\frac{4}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5$

단계 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

단계 3.4.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$