미적분 예제

$y = \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

단계 3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 1 + \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $1 + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 에 더합니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.6

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.7

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.10

$2$ 와 $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (1 (- \sin (x))) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.3.1.1

$- \sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (- \sin (x)) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (x) \sin (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.1.4

$- \sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.11.3.1.4.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.1.4.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.1.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.1.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.1.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.2

$- 2 \sin^{2} (x)$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.3

$- 2 \cos^{2} (x)$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.4

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.3.6

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 - 2 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.5

$- 2 - 2 \sin (x)$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.11.5.1

$- 2$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (1) - 2 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.5.2

$- 2 \sin (x)$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (1) - 2 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.5.3

$- 2 (1) - 2 (\sin (x))$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.6

$1 + \sin (x)$ 및 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.6.1

$- 2 (1 + \sin (x))$ 에서 $1 + \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.11.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.6.2.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 에서 $1 + \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

단계 3.11.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

단계 3.11.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2}{1 + \sin (x)}$

단계 3.11.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{1 + \sin (x)}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{2}{1 + \sin (x)}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{1 + \sin (x)}$