미적분 예제

$y = {(x - \ln (x))}^{7}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - \ln (x))}^{7})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = x - \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

단계 3.1.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x - \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

단계 3.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 3.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{1}{x})$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \cdot 1 + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

단계 3.4.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

단계 3.4.3

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.3.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - 7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{1}{x}$

단계 3.4.3.2

$\frac{1}{x}$ 와 $- 7$ 을 묶습니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7}{x} {(x - \ln (x))}^{6}$

단계 3.4.3.3

$\frac{- 7}{x}$ 와 ${(x - \ln (x))}^{6}$ 을 묶습니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

단계 3.4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

단계 3.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x}{x} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

단계 3.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

단계 3.4.7

$7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ 에서 $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.7.1

$7 {(x - \ln (x))}^{6} x$ 에서 $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

단계 3.4.7.2

$- 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ 에서 $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)}{x}$

단계 3.4.7.3

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)$ 에서 $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$