미적분 예제

$y = \frac{e^{y}}{1 + \sin (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{y}}{1 + \sin (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = e^{y}$ , $g (x) = 1 + \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [e^{y}] - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $1 + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(1 e^{y} + \sin (x) e^{y}) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.3.1

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 3.6.3.2

$e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

양변에 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 곱합니다.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

단계 5.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

단계 5.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$

단계 5.2.1.2

$e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.1

$y'$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

단계 5.3.2

$y' {(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

다시 씁니다.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = 0 + 0 + y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

단계 5.3.2.2

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))$

단계 5.3.2.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 를 전개합니다.

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단계 5.3.2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

단계 5.3.2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

단계 5.3.2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

단계 5.3.2.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.4.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

단계 5.3.2.4.1.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

단계 5.3.2.4.1.3

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x))$

단계 5.3.2.4.1.4

$\sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.2.4.1.4.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x))$

단계 5.3.2.4.1.4.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

단계 5.3.2.4.1.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1})$

단계 5.3.2.4.1.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x))$

단계 5.3.2.4.2

$\sin (x)$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x))$

단계 5.3.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

단계 5.3.2.6

간단히 합니다.

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단계 5.3.2.6.1

$y'$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

단계 5.3.2.6.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x)$

단계 5.3.3

$y'$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.4

$y'$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 5.3.4.1

방정식의 양변에서 $y' e^{y}$ 를 뺍니다.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} = y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.4.2

방정식의 양변에서 $y' e^{y} \sin (x)$ 를 뺍니다.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.5.1

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5.2

$2 y' \sin (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5.3

$y' \sin^{2} (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5.4

$- y' e^{y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5.5

$- y' e^{y} \sin (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5.6

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5.7

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' \sin^{2} (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5.8

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.5.9

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.6

$- 1 e^{y}$ 을 $- e^{y}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.7

$- 1 e^{y}$ 을 $- e^{y}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.8

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ 의 각 항을 $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.8.1

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ 의 각 항을 $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x))}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)} = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

단계 5.3.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.2.1

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.3.8.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

단계 5.3.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$