미적분 예제

$y = {(x^{2} \ln (x))}^{4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} \ln (x))}^{4})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{2} \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

단계 3.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) (2 x))$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$x^{2} \ln (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (x + \ln (x) (2 x))$

단계 3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

단계 3.5.3

항을 묶습니다.

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단계 3.5.3.1

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

단계 3.5.3.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 (x^{6} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

단계 3.5.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

단계 3.5.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

단계 3.5.3.4

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

단계 3.5.3.5

${(x^{2})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

단계 3.5.3.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{6} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

단계 3.5.3.6

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{6} \ln^{3} (x) (\ln (x) (x))$

단계 3.5.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) \ln (x)$

단계 3.5.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) \ln (x)$

단계 3.5.3.9

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{3} (x) \ln (x)$

단계 3.5.3.10

$\ln (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} (\ln^{1} (x) \ln^{3} (x))$

단계 3.5.3.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} {\ln (x)}^{1 + 3}$

단계 3.5.3.12

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$