미적분 예제

$y = 5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3}))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$

단계 3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{3}] + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{5} - 7 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 가 됩니다.

$5 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{5}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$5 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{3} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.4

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.5

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x^{3}$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.7

$3$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 3.3.9

$4 x^{5} - 7 x^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + (3 (4 x^{5}) + 3 (- 7 x^{3})) x^{2})$

단계 3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5}) x^{2} + 3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{3} (20 x^{4})) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5

항을 묶습니다.

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단계 3.4.5.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.5.1.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$5 (x^{4} x^{3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 (x^{4 + 3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.1.3

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$5 (x^{7} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.2

$x^{7}$ 의 왼쪽으로 $20$ 이동하기

$5 (20 \cdot x^{7}) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.3

$20$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$100 x^{7} + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.5.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$100 x^{7} + 5 (x^{2} x^{3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$100 x^{7} + 5 (x^{2 + 3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.4.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$100 x^{7} + 5 (x^{5} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.5

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $- 21$ 이동하기

$100 x^{7} + 5 (- 21 \cdot x^{5}) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.6

$- 21$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.7

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{5} x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.8

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.5.8.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 (x^{2} x^{5})) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{2 + 5}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.8.3

$2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{7}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.9

$12$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

단계 3.4.5.10

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{3} x^{2})$

단계 3.4.5.11

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.5.11.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 (x^{2} x^{3}))$

단계 3.4.5.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{2 + 3})$

단계 3.4.5.11.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{5})$

단계 3.4.5.12

$- 21$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} - 105 x^{5}$

단계 3.4.5.13

$100 x^{7}$ 를 $60 x^{7}$ 에 더합니다.

$160 x^{7} - 105 x^{5} - 105 x^{5}$

단계 3.4.5.14

$- 105 x^{5}$ 에서 $105 x^{5}$ 을 뺍니다.

$160 x^{7} - 210 x^{5}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 160 x^{7} - 210 x^{5}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 160 x^{7} - 210 x^{5}$