미적분 예제

$y = 5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos^{- 4} (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 3.2.2.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 3.2.2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 3.2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 3.2.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$5 (4 \cos^{- 5} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 3.2.5

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

단계 3.3.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

단계 3.3.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)$

단계 3.3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)$

단계 3.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

단계 3.3.8

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

단계 3.3.9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

단계 3.3.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

단계 3.3.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$- \sin^{2} (x)$ 와 $\cos^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

단계 3.4.2

코사인 배각공식을 적용합니다.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

단계 3.4.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$20 \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

단계 3.4.3.2

$20$ 와 $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{20}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

단계 3.4.3.3

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{\cos^{5} (x) \cdot 1} \sin (x) + \cos (2 x)$

단계 3.4.3.4

분수를 나눕니다.

$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

단계 3.4.3.5

$\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ 을 $\sec^{5} (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{20}{1} \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

단계 3.4.3.6

$20$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$