미적분 예제

$y = 4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x {(3 x - 9)}^{- 4})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(3 x - 9)}^{- 4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{- 4}] + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = 3 x - 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 9$ 로 바꿉니다.

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.2

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $3 x - 9$ 로 바꿉니다.

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.5

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.6.2

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \cdot 1)$

단계 3.4.8

${(3 x - 9)}^{- 4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4})$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5})) + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.2

$- 12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 48 x {(3 x - 9)}^{- 5} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 48 x \frac{1}{{(3 x - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.5.3.2.1

$3 x - 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.3.2.1.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.2.1.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 48 x \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.2.1.3

$3 x + 3 \cdot - 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.2.2

$3 (x - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 48 x \frac{1}{3^{5} {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.2.3

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$- 48 x \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.3.3.1

$- 48 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (- 16 x) \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.3.2

$243 {(x - 3)}^{5}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.3.3

공약수로 약분합니다.

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- 16 x \frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.4

$- 16$ 와 $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.5

$x$ 와 $\frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot - 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.6

$x$ 의 왼쪽으로 $- 16$ 이동하기

$\frac{- 16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

단계 3.5.3.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x - 9)}^{4}}$

단계 3.5.3.9

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.5.3.9.1

$3 x - 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.3.9.1.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{4}}$

단계 3.5.3.9.1.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{4}}$

단계 3.5.3.9.1.3

$3 x + 3 \cdot - 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{4}}$

단계 3.5.3.9.2

$3 (x - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{3^{4} {(x - 3)}^{4}}$

단계 3.5.3.9.3

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$

단계 3.5.3.10

$4$ 와 $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$