미적분 예제

$y = \tan^{2} (\sin (x))$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (\sin (x)))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \tan (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (\sin (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

단계 3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (\sin (x))$ 로 바꿉니다.

$2 \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

단계 3.2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \tan (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x) \tan (\sin (x))$

단계 3.4.2

$\sec (\sin (x))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 {(\frac{1}{\cos (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \tan (\sin (x))$

단계 3.4.3

$\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

단계 3.4.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

단계 3.4.5

$2$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

단계 3.4.6

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

단계 3.4.7

$\tan (\sin (x))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

단계 3.4.8

조합합니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

단계 3.4.9

지수를 더하여 $\cos^{2} (\sin (x))$ 에 $\cos (\sin (x))$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.9.1

$\cos^{2} (\sin (x))$ 에 $\cos (\sin (x))$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.9.1.1

$\cos (\sin (x))$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

단계 3.4.9.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{2 + 1}}$

단계 3.4.9.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{3} (\sin (x))}$

단계 3.4.10

$\cos^{3} (\sin (x))$ 에서 $\cos (\sin (x))$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos^{2} (\sin (x))}$

단계 3.4.11

분수를 나눕니다.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

단계 3.4.12

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

단계 3.4.13

$\cos (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

단계 3.4.14

간단히 합니다.

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단계 3.4.14.1

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

단계 3.4.14.2

$\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ 을 $\sec (\sin (x))$ 로 변환합니다.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

단계 3.4.15

$\cos^{2} (\sin (x))$ 에서 $\cos (\sin (x))$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

단계 3.4.16

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

단계 3.4.17

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ 을 $\tan (\sin (x))$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

단계 3.4.18

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

단계 3.4.19

$\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ 을 $\sec (\sin (x))$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{1} \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

단계 3.4.20

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

단계 3.4.21

$2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.21.1

$\sec (\sin (x))$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

단계 3.4.21.2

$\sec (\sin (x))$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec^{1} (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

단계 3.4.21.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 {\sec (\sin (x))}^{1 + 1} \tan (\sin (x)) \cos (x)$

단계 3.4.21.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$