미적분 예제

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

단계 1

$- 1$ 에 $\frac{5}{x}$ 을 곱합니다.

$y = e^{7 - \frac{5}{x}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 - \frac{5}{x}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 - \frac{5}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

단계 4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

단계 4.1.3

$u$ 를 모두 $7 - \frac{5}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

단계 4.2

미분합니다.

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단계 4.2.1

합의 법칙에 의해 $7 - \frac{5}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 가 됩니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

단계 4.2.2

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

단계 4.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 에 더합니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

단계 4.2.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{x}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 4.2.5

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 4.2.6

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

단계 4.2.7

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.2

항을 묶습니다.

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단계 4.3.2.1

$5$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

단계 4.3.2.2

$e^{7 - \frac{5}{x}}$ 와 $\frac{5}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

단계 4.3.2.3

$e^{7 - \frac{5}{x}}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

단계 4.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $7$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

단계 4.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$