미적분 예제

$y = \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}}$ 을(를) ${(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4}]$

단계 4.7

$f (x) = x^{2} - 5$ , $g (x) = x^{2} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8

미분합니다.

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단계 4.8.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.8.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.4.2

$x^{2} + 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.7

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.8

분수를 통분합니다.

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단계 4.8.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - (x^{2} - 5) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.8.8.3

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 4.8.8.4

${(x^{2} + 4)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 \cdot {(x^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 4.9

간단히 합니다.

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단계 4.9.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 5})}^{\frac{1}{2}}$

단계 4.9.2

$\frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 (x^{2} - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 5) x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7

항을 묶습니다.

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단계 4.9.7.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.7

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.8

$- 2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3} + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.9

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{8 x + 0 + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.10

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8 x + 10 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.11

$8 x$ 를 $10 x$ 에 더합니다.

$\frac{18 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.12

$18$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.9.7.12.1

$18 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (9 x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.9.7.12.2.1

$2 {(x^{2} + 4)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (9 x)}{2 ({(x^{2} + 4)}^{2})} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (9 x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.13

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ 에 $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.14

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.15

지수를 더하여 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 에 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.9.7.15.1

${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.15.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.15.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.15.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.15.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.15.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.9.7.15.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.9.7.15.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}}$