미적분 예제

$y = \sqrt{\sec (8 x)}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\sec (8 x)}$ 을(를) ${\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \sec (8 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (8 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (8 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.6.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

단계 4.7

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 4.7.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 4.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (8 x) \tan (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 4.8

분수를 통분합니다.

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단계 4.8.1

$\sec (8 x)$ 와 $\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 4.8.2

$\tan (8 x)$ 와 $\frac{\sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\tan (8 x) \sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 4.8.3

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 ${\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{\tan (8 x) \sec (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 4.9

지수를 더하여 $\sec (8 x)$ 에 ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.9.1

${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\tan (8 x) ({\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (8 x))}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 4.9.2

${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 에 $\sec (8 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.1

$\sec (8 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\tan (8 x) ({\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (8 x))}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 4.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 4.9.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 4.9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 4.9.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 4.10

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.11

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.11.1

$8$ 와 $\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 (\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.11.2

$8 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.12

공약수로 약분합니다.

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단계 4.12.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.12.4

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 4.14

식을 간단히 합니다.

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단계 4.14.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$

단계 4.14.2

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$