미적분 예제

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos (x) \tan (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

단계 3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

단계 3.5.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

단계 3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

단계 3.5.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.4.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

단계 3.5.4.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

단계 3.5.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

단계 3.5.4.4

$5$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

단계 3.5.4.5

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.4.5.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

단계 3.5.4.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

단계 3.5.4.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

단계 3.5.4.6

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 3.5.4.7

$- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.4.7.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

단계 3.5.4.7.2

$\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

단계 3.5.4.7.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

단계 3.5.4.7.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

단계 3.5.4.7.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

단계 3.5.4.7.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

단계 3.5.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

단계 3.5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

단계 3.5.6

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

단계 3.5.7

$- 5 \sin^{2} (x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

단계 3.5.8

$5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

단계 3.5.9

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

단계 3.5.10

$\cos^{2} (x)$ 및 $\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.10.1

$5 \cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

단계 3.5.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.10.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

단계 3.5.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

단계 3.5.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

단계 3.5.10.2.4

$5 \cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 \cos (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 5 \cos (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$