미적분 예제

$y = 9 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = 9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 e^{x}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 입니다.

$9 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

단계 4.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$9 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

단계 4.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 e^{x} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

단계 4.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$9 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

단계 4.3.4

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 4.3.5

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 4.3.5.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 4.3.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

단계 4.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

단계 4.3.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 4.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 4.3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

단계 4.3.9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

단계 4.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

단계 4.3.11

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

단계 4.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

단계 4.3.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

단계 4.3.13.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

단계 4.3.13.3

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

단계 4.3.13.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

단계 4.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

단계 4.3.15

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$9 e^{x} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 4.3.16

$- 4$ 와 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 을 묶습니다.

$9 e^{x} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 4.3.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$