미적분 예제

$z = x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x}))$

단계 2

$z$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $z'$ 입니다.

$z'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = x + c e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + c e^{x}] + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x + c e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c e^{x}]$ 가 됩니다.

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [c e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.2.3

$c$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $c e^{x}$ 의 미분은 $c \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.4

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

단계 3.8.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

단계 3.9

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10

간단히 합니다.

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단계 3.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.3

항을 묶습니다.

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단계 3.10.3.1

$x^{\frac{3}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.3.2

$x$ 와 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.3.7

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10.3.8

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $c$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{x}$

단계 3.10.3.9

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} c}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

단계 3.10.3.10

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

단계 3.10.3.11

$x^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

단계 3.10.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

단계 3.10.3.13

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

단계 3.10.3.14

$2 x^{\frac{3}{2}}$ 를 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 에 더합니다.

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

단계 3.10.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$z' = e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 5

$z'$ 에 $\frac{d z}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d z}{d x} = e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$