미적분 예제

$y = \arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.4

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.5

$4 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.6

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 2.8

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 16 x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $16 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

단계 3.1.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $16 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $16 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.3

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{2}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + 0)$

단계 3.6

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x + 0)$

단계 3.7

$32 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x)$

단계 3.8

$32$ 와 $\frac{1}{16 x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32}{16 x^{2} + 1} x$

단계 3.9

$\frac{32}{16 x^{2} + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 묶습니다.

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단계 4.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4}{16 x^{2} + 1} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

단계 4.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 + 32 x}{16 x^{2} + 1}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{32 x + 4}{16 x^{2} + 1}$

단계 4.3

$32 x + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.1

$32 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (8 x) + 4}{16 x^{2} + 1}$

단계 4.3.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (8 x) + 4 (1)}{16 x^{2} + 1}$

단계 4.3.3

$4 (8 x) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (8 x + 1)}{16 x^{2} + 1}$