미적분 예제

$e^{4 x} + e^{- x}$

단계 1

$e^{4 x} + e^{- x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{4 x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.2.5

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 2.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 2.1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 2.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 e^{4 x} - e^{- x}$ 입니다.

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

단계 3.2

양변에 그 값을 더하여 $- e^{- x}$ 을 식의 우변으로 옮깁니다.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

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단계 3.4.1

$\ln (4 e^{4 x})$ 을 $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

단계 3.4.2

$4 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{4 x})$ 을 전개합니다.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

단계 3.4.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

단계 3.4.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

단계 3.5

왼편을 확장합니다.

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단계 3.5.1

$- x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- x})$ 을 전개합니다.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

단계 3.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

단계 3.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (4) + 4 x = - x$

단계 3.6

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 3.6.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

단계 3.6.2

$4 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\ln (4) + 5 x = 0$

단계 3.7

방정식의 양변에서 $\ln (4)$ 를 뺍니다.

$5 x = - \ln (4)$

단계 3.8

$5 x = - \ln (4)$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$5 x = - \ln (4)$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

단계 3.8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.8.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

단계 3.8.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

단계 3.8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.8.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- \frac{\ln (4)}{5}$ 입니다.

$- \frac{\ln (4)}{5}$

단계 5

도함수 $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ 구간에서 $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.27725887$ 을 대입합니다.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$4$ 에 $- 1.27725887$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

단계 6.2.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

단계 6.2.1.3

$4$ 와 $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ 을 묶습니다.

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

단계 6.2.1.4

$- 1$ 에 $- 1.27725887$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

단계 6.2.2

최종 답은 $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ 입니다.

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

단계 6.3

간단히 합니다.

$- 3.56262674$

단계 6.4

$x = - 1.27725887$ 에서의 도함수는 $- 3.56262674$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ 에서 감소함

단계 7

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.72274112$ 을 대입합니다.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$4$ 에 $0.72274112$ 을 곱합니다.

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

단계 7.2.1.2

$- 1$ 에 $0.72274112$ 을 곱합니다.

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

단계 7.2.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

단계 7.2.2

최종 답은 $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ 입니다.

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

단계 7.3

간단히 합니다.

$71.55727104$

단계 7.4

$x = 0.72274112$ 에서의 도함수는 $71.55727104$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

단계 9