미적분 예제

$y = 4 \sin (x) \csc (x^{2})$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin (x) \csc (x^{2})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \csc (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})] + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.2

$\csc (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u) \cot (u)$ 입니다.

$4 (\sin (x) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \cos (x))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x)) + 4 (\csc (x^{2}) \cos (x))$

단계 6.2

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 8 \sin (x) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x + 4 \csc (x^{2}) \cos (x)$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 8 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$\cot (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.2

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.2.1

$- 8$ 와 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$x \frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.2.2

$x$ 와 $\frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (- 8 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$\frac{- 8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.5

$\csc (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.6

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.6.1

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 에 $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 곱합니다.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.6.2

$\sin (x^{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.6.3

$\sin (x^{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.7

$\sin (x)$ 와 $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (x) (8 x \cos (x^{2}))}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.8

$\sin (x)$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$- \frac{8 \cdot \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

단계 6.4.9

$\csc (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$

단계 6.4.10

$4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.10.1

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4}{\sin (x^{2})} \cos (x)$

단계 6.4.10.2

$\frac{4}{\sin (x^{2})}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$\sin^{2} (x^{2})$ 에서 $\sin (x^{2})$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.2

분수를 나눕니다.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.3

$\frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.4

$\sin (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.5

간단히 합니다.

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단계 6.5.5.1

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.5.2

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 을 $\csc (x^{2})$ 로 변환합니다.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.6

분수를 나눕니다.

$- (\frac{8 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.7

$\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 을 $\cot (x^{2})$ 로 변환합니다.

$- (\frac{8 x}{1} \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.8

$8 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (8 x \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.9

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 (x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.10

분수를 나눕니다.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$

단계 6.5.11

$\frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

단계 6.5.12

$\cos (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})$

단계 6.5.13

간단히 합니다.

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단계 6.5.13.1

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

단계 6.5.13.2

$\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 을 $\csc (x^{2})$ 로 변환합니다.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \csc (x^{2}))$

단계 6.5.14

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$