미적분 예제

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

단계 1

$f (x) = \arccos (x)$ , $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

단계 1.2

$\arccos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

단계 2

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

단계 3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

단계 4.2.2

${(1 + x^{2})}^{- 2}$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 4.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

$2$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

단계 4.7.2

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 5.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 5.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 5.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

단계 5.4.4

인수분해된 형태로 $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 를 다시 씁니다.

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단계 5.4.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

단계 5.4.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1 + x^{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

단계 5.4.4.3

간단히 합니다.

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단계 5.4.4.3.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

단계 5.4.4.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

단계 5.4.4.3.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

단계 5.4.5

$\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.4.5.1

$(x^{2} + 2) x^{2}$ 에서 완전제곱인 $x^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

단계 5.4.5.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 완전제곱인 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

단계 5.4.5.3

분수 $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

단계 5.4.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

단계 5.4.7

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ 와 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

단계 5.5

${(1 + x^{2})}^{2}$ 와 $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

단계 5.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

${(1 + x^{2})}^{2}$ 및 $x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

단계 5.6.1.2

${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

단계 5.6.1.3

공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

단계 5.6.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

단계 5.6.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

단계 5.6.1.3.4

$(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.6.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.3.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.6.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.6.3.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.6.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.6.6

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ 에서 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.6.6.1

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ 에서 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.6.6.2

$x \sqrt{x^{2} + 2}$ 에서 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

단계 5.6.6.3

$x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ 에서 $x \sqrt{x^{2} + 2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

단계 5.7

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

단계 5.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

단계 5.8

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.9

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 5.9.1

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 5.9.2

$\sqrt{x^{2} + 2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

단계 5.9.3

$\sqrt{x^{2} + 2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

단계 5.9.4

$\sqrt{x^{2} + 2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

단계 5.9.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

단계 5.9.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

단계 5.9.7

${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ 을 $x^{2} + 2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.9.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 을(를) ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.9.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.9.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.9.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.9.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.9.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

단계 5.9.7.5

간단히 합니다.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$