미적분 예제

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 4)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 4 x + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 4 x + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.3

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4])$

단계 2.6

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + 0)$

단계 2.7

$2 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

단계 3.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

단계 3.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

단계 3.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

단계 3.2.4

$a = x$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(2 x - 4) \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 3.3

$2 x - 4$ 에 $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 3.4

$2 x - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x) - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 3.4.3

$2 x + 2 \cdot - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 3.5

$x - 2$ 및 ${(x - 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.1

$2 (x - 2)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.1

${(x - 2)}^{2}$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

단계 3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

단계 3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{x - 2}$