미적분 예제

$y = x \arctan (\frac{1}{x})$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = \arctan (\frac{1}{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2}) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{x^{1 - 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{x^{- 1}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \cdot 1$

단계 7

$\arctan (\frac{1}{x})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{1 x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3

항을 묶습니다.

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단계 8.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{x + \frac{x}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3.4

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{x + \frac{x^{1}}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3.4.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3.4.3

공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.4.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

단계 8.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (\frac{1}{x})$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

단계 8.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 + \arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

단계 8.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) - 1}{x + \frac{1}{x}}$