미적분 예제

$y = \frac{e^{4 x} - 2}{e^{4 x} + 2}$

단계 1

$f (x) = e^{4 x} - 2$ , $g (x) = e^{4 x} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2] - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{4 x} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 4.3.2

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{(e^{4 x} + 2) (4 \cdot e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 4.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (4 e^{4 x} + 0) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$4 e^{4 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(e^{4 x} + 2) (4 e^{4 x}) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 4.5.2

$e^{4 x} + 2$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 4.6

합의 법칙에 의해 $e^{4 x} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 5

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 6.3

식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 6.3.2

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (4 \cdot e^{4 x} + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 6.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x} + 0)}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 6.5

식을 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$4 e^{4 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x})}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 6.5.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - 4 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(4 e^{4 x} + 4 \cdot 2) e^{4 x} - 4 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 e^{4 x} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} - 4 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 e^{4 x} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + (- 4 e^{4 x} - 4 \cdot - 2) e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 e^{4 x} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} - 4 e^{4 x} e^{4 x} - 4 \cdot - 2 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

$4 e^{4 x} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} - 4 e^{4 x} e^{4 x} - 4 \cdot - 2 e^{4 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.5.1.1

$4 e^{4 x} e^{4 x}$ 에서 $4 e^{4 x} e^{4 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 \cdot 2 e^{4 x} + 0 - 4 \cdot - 2 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7.5.1.2

$4 \cdot 2 e^{4 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 \cdot 2 e^{4 x} - 4 \cdot - 2 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.5.2.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 e^{4 x} - 4 \cdot - 2 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7.5.2.2

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 e^{4 x} + 8 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

단계 7.5.3

$8 e^{4 x}$ 를 $8 e^{4 x}$ 에 더합니다.

$\frac{16 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$