미적분 예제

$y = \frac{x^{2} - 2 a x + a^{2}}{x - a}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2}$ , $g (x) = x - a$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - a) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a x + a^{2}] - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 a x + a^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - a) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - a) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.3

$- 2 a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 a x$ 의 미분은 $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.6

$a^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a^{2}$ 입니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + 0) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.7

$2 x - 2 a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x - a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.10

$- a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- a$ 입니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + 0)}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \cdot 1}{{(x - a)}^{2}}$

단계 2.11.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - a) (2 x - 2 a)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x - 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x \cdot x + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 1 \cdot 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a \cdot a - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.7

지수를 더하여 $a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.2.1.7.1

$a$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 (a \cdot a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.7.2

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.8

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

$- 2 x a$ 에서 $2 a x$ 을 뺍니다.

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단계 3.2.1.2.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2.2

$- 2 a x$ 에서 $2 a x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 4 a x$ 를 $2 a x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 2 a^{2} - 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.2.4

$2 a^{2}$ 에서 $a^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + a^{2} - 2 a x}{{(x - a)}^{2}}$

단계 3.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{a^{2} + x^{2} - 2 a x}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.4

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.4.1

항을 다시 배열합니다.

$\frac{a^{2} - 2 a x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.4.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 a x = 2 \cdot a \cdot x$

단계 3.4.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.4.4

$a = a$ 이고 $b = x$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(a - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.5

${(a - x)}^{2}$ 및 ${(- a + x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.1

$a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(- 1 (- a) - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.5.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(- 1 (- a) - (x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.5.3

$- 1 (- a) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(- 1 (- a + x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.5.4

$- 1 (- a + x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.5.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1 {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.5.6

${(- a + x)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.5.7

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

단계 3.5.8

수식을 다시 씁니다.

$1$