미적분 예제

$y = \frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x^{2}}{\ln (| 3 x |)}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{\ln (| 3 x |)}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (| 3 x |)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (| 3 x |)]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = | 3 x |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $| 3 x |$ 로 바꿉니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 4.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 4.3

$u_{1}$ 를 모두 $| 3 x |$ 로 바꿉니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - x^{2} (\frac{1}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 5

$\frac{1}{| 3 x |}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x |]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 6

$f (x) = | x |$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 6.2

$| u_{2} |$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 입니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{x^{2}}{| 3 x |} (\frac{3 x}{| 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 7

$\frac{3 x}{| 3 x |}$ 에 $\frac{x^{2}}{| 3 x |}$ 을 곱합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x \cdot x^{2}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 8

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x)}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 8.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 (x^{2} x^{1})}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{2 + 1}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 8.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x | | 3 x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 9

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 3 x (3 x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 10

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x \cdot x |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 (x^{1} x^{1}) |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 15

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 16

분수를 통분합니다.

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단계 16.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - 3 \frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 16.2

$- 3$ 와 $\frac{3 x^{3}}{| 9 x^{2} |}$ 을 묶습니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 3 (3 x^{3})}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 16.3

식을 간단히 합니다.

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단계 16.3.1

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) + \frac{- 9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 16.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |} \cdot 1}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 18

분수를 통분합니다.

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단계 18.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 \frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 18.2

$5$ 와 $\frac{\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |}}{\ln^{2} (| 3 x |)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x) - \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (\ln (| 3 x |) (2 x)) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 19.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{5 (2 \ln (| 3 x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.2

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{5 (2 \ln (3 | x |) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.3

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (3 | x |)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{5 (\ln ({(3 | x |)}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.4

$3 | x |$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (\ln (3^{2} {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.5

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{5 (\ln (9 {| x |}^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.6

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\frac{5 (\ln (9 x^{2}) x) + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.7

$5 (\ln (9 x^{2}) x)$ 을 곱합니다.

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단계 19.2.1.7.1

$\ln (9 x^{2})$ 와 $5$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 \cdot \ln (9 x^{2}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.7.2

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \cdot \ln (9 x^{2})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({(9 x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.8

$9 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\ln (9^{5} {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.9

$9$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{\ln (59049 {(x^{2})}^{5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.10

${(x^{2})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 19.2.1.10.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\ln (59049 x^{2 \cdot 5}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.10.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{| 9 x^{2} |})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.11

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.12

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 19.2.1.12.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{9 x^{3}}{9 x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.12.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{3}}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.13

$x^{3}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 19.2.1.13.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2}})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 19.2.1.13.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- \frac{x}{1})}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.13.2.4

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x + 5 (- x)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.1.14

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (59049 x^{10}) x - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.2.2

$\ln (59049 x^{10}) x - 5 x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x \ln (59049 x^{10}) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.3

$x \ln (59049 x^{10}) - 5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1

$x \ln (59049 x^{10})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) - 5 x}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.3.2

$- 5 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.3.3

$x (\ln (59049 x^{10})) + x \cdot - 5$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (| 3 x |)}$

단계 19.4

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$\frac{x (\ln (59049 x^{10}) - 5)}{\ln^{2} (3 | x |)}$