미적분 예제

$y = \frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$

단계 1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

단계 2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

단계 3

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) \cdot 4} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

단계 3.2

$1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{4 \cdot (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

단계 3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$ 입니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} (4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

단계 3.4

항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$4$ 와 $\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

단계 3.4.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

단계 3.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

단계 4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 + 5 \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $3 + 5 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 6.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 6.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 6.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 6.5

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 7

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 8

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 10

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 13

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ 에 $\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{{(4 \sin (x))}^{2}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.2

$4 \sin (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.4.1

$5 \cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 14.4.1.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.2

$5 \cos^{2} (x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.3

$5 \sin^{2} (x)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.4

$5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.5

항을 다시 배열합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cdot 1}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.4.7

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.5

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

단계 14.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 + 3 \cos (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2} (1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}})}$