미적분 예제

$y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} \cdot e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.2

$\frac{x}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{4 x}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x e^{4 x}}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.4

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{4 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.5

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.5.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.6

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.9

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.10

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{4} (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 2.11

$e^{4 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- \frac{1}{16}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ 의 미분은 $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 3.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

단계 3.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \cdot 4)$

단계 3.6

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (4 \cdot e^{4 x})$

단계 3.7

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - 4 (\frac{1}{16}) e^{4 x}$

단계 3.8

$- 4$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4}{16} e^{4 x}$

단계 3.9

$\frac{- 4}{16}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4 e^{4 x}}{16}$

단계 3.10

$- 4$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$- 4 e^{4 x}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{16}$

단계 3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 (4)}$

단계 3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 \cdot 4}$

단계 3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- e^{4 x}}{4}$

단계 3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x})) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{4} (4 e^{4 x}) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.2

$4$ 와 $\frac{x}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x}{4} e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.3

$\frac{4 x}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.4.2

$x e^{4 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $x e^{4 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.6

$x e^{4 x}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4 - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.8

$x e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 \cdot (x e^{4 x}) - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.10

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4} e^{4 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.11

$\frac{1}{4} e^{4 x}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.13

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.14

$\frac{e^{4 x}}{4}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{e^{4 x} \cdot 4}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.15

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{\frac{4 \cdot e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.16

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.16.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{4 e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.16.2

$e^{4 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{4 x} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

단계 4.2.17

$e^{4 x}$ 에서 $e^{4 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 e^{4 x} x + 0}{4}$

단계 4.2.18

$4 e^{4 x} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

단계 4.2.19

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.19.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

단계 4.2.19.2

$e^{4 x} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{4 x} x$

단계 4.3

$e^{4 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x e^{4 x}$