미적분 예제

$y = \frac{500}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$500$ 및 $12 + 4 e^{- 0.5 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1

$500$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}]$

단계 1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 e^{- 0.5 x}}]$

단계 1.1.2.2

$4 e^{- 0.5 x}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})}]$

단계 1.1.2.3

$4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

단계 1.1.2.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

단계 1.1.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

단계 1.2

$125$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}$ 의 미분은 $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$ 입니다.

$125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

단계 1.3

$\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}$ 을 ${(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$125 \frac{d}{d x} [{(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 3 + e^{- 0.5 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 + e^{- 0.5 x}$ 로 바꿉니다.

$125 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 + e^{- 0.5 x}$ 로 바꿉니다.

$125 (- {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$- 125 ({(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $3 + e^{- 0.5 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ 가 됩니다.

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ 에 더합니다.

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 0.5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 0.5 x$ 로 바꿉니다.

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 0.5 x$ 로 바꿉니다.

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$- 0.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 0.5 x$ 의 미분은 $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2

$- 0.5$ 에 $- 125$ 을 곱합니다.

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

단계 5.4

$e^{- 0.5 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$62.5 e^{- 0.5 x} {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2}$

단계 6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$

단계 6.3

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ 와 $62.5$ 을 묶습니다.

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}} e^{- 0.5 x}$

단계 6.3.2

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ 와 $e^{- 0.5 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{62.5 e^{- 0.5 x}}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$