미적분 예제

$y = \cot^{2} (\frac{1}{3 x})$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cot (\frac{1}{3 x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cot (\frac{1}{3 x})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cot (\frac{1}{3 x})$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

단계 2

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = \frac{1}{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{1}{3 x}$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

단계 2.2

$\cot (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{2})$ 입니다.

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{1}{3 x}$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

단계 3.2

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 3.3

분수를 통분합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{3} \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3.3.2

$\frac{- 2}{3}$ 와 $\cot (\frac{1}{3 x})$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3} \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3.3.3

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3}$ 와 $\csc^{2} (\frac{1}{3 x})$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 3.3.4.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 3.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} (- x^{- 2})$

단계 3.5

분수를 통분합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

단계 3.5.2

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

단계 3.5.3

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) x^{- 2}}{3}$

단계 3.5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$

단계 3.5.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \cot (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$