미적분 예제

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{\ln (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\ln (x)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

단계 4.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\ln (x)}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

단계 4.2

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$x^{\ln (x)}$ 을 $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

단계 4.2.2

$\ln (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\ln (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

단계 4.3

$\ln (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

단계 4.4

$\ln (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

단계 4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

단계 4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

단계 4.7

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \ln^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\ln^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

단계 4.7.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

단계 4.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $\ln^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

단계 4.8

$e^{\ln^{2} (x)}$ 와 $\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

단계 4.9

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4.9.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4.9.3

$u_{3}$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4.10

분수를 통분합니다.

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단계 4.10.1

$2$ 와 $\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4.10.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 4.11

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

단계 4.12

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

단계 4.13

$x^{\ln (x)}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.13.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

단계 4.13.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

단계 4.14

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.14.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

단계 4.14.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

단계 4.14.3

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$