미적분 예제

$y = x e^{\sin (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x e^{\sin (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{\sin (x)}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$x (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x (e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)} \cdot 1$

단계 3.4.2

$e^{\sin (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{\sin (x)} \cos (x)) + e^{\sin (x)}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\sin (x)} x \cos (x) + e^{\sin (x)}$

단계 3.5.2

$e^{\sin (x)} x \cos (x) + e^{\sin (x)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = x e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)}$