미적분 예제

$y = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{t}$ 을 $t^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{t^{2}}$ 을 ${(t^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.2

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$- t^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- t^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.4

${(t^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- t^{- 2} - t^{2 \cdot - 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.4.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - t^{- 4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 4} t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.6

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- t^{- 2} - 2 (t^{1} t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{1 - 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 3.8

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

단계 4

$\frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.2

$f (t) = - 1$ , $g (t) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.3

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.4

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.6

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.7

${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.7.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.13

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.14

$\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $t^{- 1}$ 을 묶습니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.15

지수를 더하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 에 $t^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 4.15.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.15.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.15.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.15.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.15.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.15.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.15.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.17

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.18

$\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

단계 4.19

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 0$

단계 4.20

$\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

단계 6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 \frac{1}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

단계 7

항을 묶습니다.

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단계 7.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{t^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{- 2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$