미적분 예제

$y = \ln ({(1 - t)}^{- 2})$

단계 1

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = {(1 - t)}^{- 2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(1 - t)}^{- 2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(1 - t)}^{- 2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(1 - t)}^{- 2}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

단계 2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 을 활용하여 ${(1 - t)}^{- 2}$ 를 분자로 이동합니다.

${(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

단계 3

$f (t) = t^{- 2}$ , $g (t) = 1 - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 - t$ 로 바꿉니다.

${(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d t} [1 - t])$

단계 3.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(1 - t)}^{2} (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 - t$ 로 바꿉니다.

${(1 - t)}^{2} (- 2 {(1 - t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

단계 4

지수를 더하여 ${(1 - t)}^{2}$ 에 ${(1 - t)}^{- 3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

${(1 - t)}^{- 3}$ 를 옮깁니다.

${(1 - t)}^{- 3} {(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(1 - t)}^{- 3 + 2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

단계 4.3

$- 3$ 를 $2$ 에 더합니다.

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

단계 5

합의 법칙에 의해 $1 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))$

단계 6

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

단계 7

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- t]$ 에 더합니다.

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [- t])$

단계 8

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (- \frac{d}{d t} [t]))$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

${(1 - t)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t])$

단계 9.2

${(1 - t)}^{- 1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot {(1 - t)}^{- 1} \frac{d}{d t} [t]$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 {(1 - t)}^{- 1} \cdot 1$

단계 11

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 {(1 - t)}^{- 1}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{1 - t}$

단계 12.2

$2$ 와 $\frac{1}{1 - t}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{1 - t}$