미적분 예제

$y = \arctan (\sqrt{6 t})$

단계 1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6 t}$ 을(를) ${(6 t)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 t)}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.2

$6 t$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.3

$6 (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d t} [\arctan (6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (t) = \arctan (t)$ , $g (t) = 6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$6^{\frac{1}{2}}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2

$6^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 10

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 에 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2})) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4

항을 묶습니다.

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단계 12.4.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.2

${(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{1} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.3

지수값을 계산합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.4

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{1}) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.5

간단히 합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t) t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.6

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4.7

지수를 더하여 $t$ 에 $t^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.4.7.1

$t^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

단계 12.4.7.2

$t^{\frac{1}{2}}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

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단계 12.4.7.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

단계 12.4.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 12.4.7.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 12.4.7.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 12.4.7.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{3}{2}}}$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 12.6.1

$12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.6.1.1

$12 t^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.6.1.2

$2 t^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)}$

단계 12.6.1.3

$2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)$ 에서 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}} + 1)}$

단계 12.6.2

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{1} + 1)}$

단계 12.6.3

간단히 합니다.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t + 1)}$