미적분 예제

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$

단계 1

식 $\frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = \ln (9)$

단계 2

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

단계 2.2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

단계 2.2.1.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

단계 2.2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.3.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

단계 2.2.1.3.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 9}$

단계 2.2.1.3.3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.3.3.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 9}$

단계 2.2.1.3.3.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.3.3.2.1

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$2 \frac{\infty}{\infty - 9}$

단계 2.2.1.3.3.2.2

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

단계 2.2.1.3.3.2.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$2 \frac{\infty}{\infty}$

단계 2.2.1.3.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$2 \frac{\infty}{\infty}$

단계 2.2.1.3.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$2 \frac{\infty}{\infty}$

단계 2.2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$2 \frac{\infty}{\infty}$

단계 2.2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

단계 2.2.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

단계 2.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

단계 2.2.3.3

합의 법칙에 의해 $e^{x} - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

단계 2.2.3.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 9]}$

단계 2.2.3.5

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

단계 2.2.3.6

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

단계 2.2.4

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

단계 2.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 lim_{x \to \infty} 1$

단계 2.3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

단계 3.1.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

단계 3.2

지수 $x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

단계 3.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 9}$

단계 3.4

지수 $x$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$2 \frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} 9}$

단계 3.5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 9}$

단계 3.5.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$0$ 및 $0 - 1 \cdot 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

$0$ 을 $- 1 (0)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 \cdot 9}$

단계 3.5.2.1.2

$- 1 \cdot 9$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 (9)}$

단계 3.5.2.1.3

$- 1 (0) - 1 (9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 9)}$

단계 3.5.2.1.4

$0$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{9 (0)}{- 1 (0 + 9)}$

단계 3.5.2.1.5

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.5.1

$- 1 (0 + 9)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{9 (0)}{9 (- 1 (0 + 1))}$

단계 3.5.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{9 \cdot 0}{9 (- 1 (0 + 1))}$

단계 3.5.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

단계 3.5.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

단계 3.5.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{0}{- 1})$

단계 3.5.2.4

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$2 \cdot 0$

단계 3.5.2.5

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4

수평점근선 나열:

$y = 2, 0$

단계 5

분자의 차수가 분모의 차수보다 작거나 같으므로 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = \ln (9)$

수평점근선: $y = 2, 0$

사선점근선 없음

단계 7