미적분 예제

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.1.2

$n = \frac{6}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.3

$- 1$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.5.2

$6$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.6.2

$\frac{6}{7}$ 와 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.7

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.1.9

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + 0)$

단계 1.1.10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

단계 1.1.10.2

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ 입니다.

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$6 = 0$

단계 2.3

$6 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

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단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{{(x + 2)}^{1}}}$

단계 3.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$7 \sqrt[7]{x + 2} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $7$ 승합니다.

${(7 \sqrt[7]{x + 2})}^{7} = 0^{7}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[7]{x + 2}$ 을(를) ${(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1

$7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$7^{7} {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.2

$7$ 를 $7$ 승 합니다.

$823543 {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.3

${({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$823543 {(x + 2)}^{1} = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$823543 (x + 2) = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$823543 x + 823543 \cdot 2 = 0^{7}$

단계 3.3.2.2.1.6

$823543$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$823543 x + 1647086 = 0^{7}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$823543 x + 1647086 = 0$

단계 3.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

방정식의 양변에서 $1647086$ 를 뺍니다.

$823543 x = - 1647086$

단계 3.3.3.2

$823543 x = - 1647086$ 의 각 항을 $823543$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$823543 x = - 1647086$ 의 각 항을 $823543$ 로 나눕니다.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

단계 3.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1

$823543$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

단계 3.3.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1647086}{823543}$

단계 3.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.3.1

$- 1647086$ 을 $823543$ 로 나눕니다.

$x = - 2$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 ${(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

${((- 2) + 2)}^{\frac{6}{7}}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$0^{\frac{6}{7}}$

단계 4.1.2.1.2

$0$ 을 $0^{7}$ 로 바꿔 씁니다.

${(0^{7})}^{\frac{6}{7}}$

단계 4.1.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

단계 4.1.2.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

단계 4.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$0^{6}$

단계 4.1.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(- 2, 0)$

단계 5