미적분 예제

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

단계 1

방정식의 양변에서 $\cos^{2} (x)$ 를 뺍니다.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

단계 2

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $3 \sin^{2} (x)$ 를 $3 (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿉니다.

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

단계 3.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

단계 3.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

단계 4

$- 3 \cos^{2} (x)$ 에서 $\cos^{2} (x)$ 을 뺍니다.

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

단계 5

다항식을 다시 정렬합니다.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

단계 6

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

단계 7

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

단계 7.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

단계 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

단계 9

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

단계 9.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 9.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 11

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 12

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 12.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{6}$ 입니다.

$x = \frac{π}{6}$

단계 12.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

단계 12.4

$2 π - \frac{π}{6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 12.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 12.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

단계 12.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.3.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 π - π}{6}$

단계 12.4.3.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{11 π}{6}$

단계 12.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 12.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 12.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 12.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 12.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$

단계 13

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 13.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{5 π}{6}$ 입니다.

$x = \frac{5 π}{6}$

단계 13.3

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

단계 13.4

$2 π - \frac{5 π}{6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

단계 13.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

단계 13.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

단계 13.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.3.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

단계 13.4.3.2

$12 π$ 에서 $5 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{7 π}{6}$

단계 13.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 13.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 13.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 13.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 13.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$

단계 14

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$

단계 15

해를 하나로 합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$\frac{π}{6} + 2 π n$ , $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 를 $\frac{π}{6} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$

단계 15.2

$\frac{11 π}{6} + 2 π n$ , $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ 를 $\frac{5 π}{6} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$

단계 16

구간 $(0, 2 π)$ 에 속하는 값을 생성하는 $n$ 값들을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$n$ 에 $0$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $(0, 2 π)$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

$n$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{π}{6} + π (0)$

단계 16.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.2.1

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{6} + 0$

단계 16.1.2.2

$\frac{π}{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{π}{6}$

단계 16.1.3

구간 $(0, 2 π)$ 은 $\frac{π}{6}$ 을 포함합니다.

$x = \frac{π}{6}$

단계 16.2

$n$ 에 $0$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $(0, 2 π)$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$n$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

단계 16.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.2.1

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{5 π}{6} + 0$

단계 16.2.2.2

$\frac{5 π}{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 π}{6}$

단계 16.2.3

구간 $(0, 2 π)$ 은 $\frac{5 π}{6}$ 을 포함합니다.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

단계 16.3

$n$ 에 $1$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $(0, 2 π)$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.1

$n$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{π}{6} + π (1)$

단계 16.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.2.1

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{6} + π$

단계 16.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

단계 16.3.2.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.2.3.1

$π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

단계 16.3.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

단계 16.3.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.2.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

단계 16.3.2.4.2

$π$ 를 $6 π$ 에 더합니다.

$\frac{7 π}{6}$

단계 16.3.3

구간 $(0, 2 π)$ 은 $\frac{7 π}{6}$ 을 포함합니다.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

단계 16.4

$n$ 에 $1$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $(0, 2 π)$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.1

$n$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

단계 16.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.2.1

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 π}{6} + π$

단계 16.4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

단계 16.4.2.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.2.3.1

$π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

단계 16.4.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

단계 16.4.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.2.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

단계 16.4.2.4.2

$5 π$ 를 $6 π$ 에 더합니다.

$\frac{11 π}{6}$

단계 16.4.3

구간 $(0, 2 π)$ 은 $\frac{11 π}{6}$ 을 포함합니다.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$