미적분 예제

$y = 2 x - x^{2}$

단계 1

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 2 x$

단계 1.1.2

$- x^{2} + 2 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

단계 1.1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

단계 1.1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

단계 1.1.2.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{1}{- 1}$

단계 1.1.2.3.2.1.3

$\frac{1}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 1$

단계 1.1.2.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$d = - 1$

단계 1.1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 1.1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

단계 1.1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

단계 1.1.2.4.2.1.3

$4$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 1$

단계 1.1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 1$

단계 1.1.2.4.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e = 1$

단계 1.1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- {(x - 1)}^{2} + 1$ 에 대입합니다.

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

단계 1.1.3

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 1$

단계 1.2

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

단계 1.3

$a$ 값이 음수이므로 이 포물선은 아래로 열린 형태입니다.

아래로 열림

단계 1.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(1, 1)$

단계 1.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 1.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

단계 1.5.3

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

단계 1.5.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4}$

단계 1.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 1.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(1, \frac{3}{4})$

단계 1.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = 1$

단계 1.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 1.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = \frac{5}{4}$

단계 1.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(1, 1)$

초점: $(1, \frac{3}{4})$

대칭축: $x = 1$

준선: $y = \frac{5}{4}$

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(1, 1)$

초점: $(1, \frac{3}{4})$

대칭축: $x = 1$

준선: $y = \frac{5}{4}$

단계 2

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0)$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = - 0 + 2 (0)$

단계 2.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 2 (0)$

단계 2.2.1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 2.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 2.3

$x = 0$ 일 때 $y$ 의 값은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 2.4

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

단계 2.5

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1.1

$- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1.1.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

단계 2.5.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1)$

단계 2.5.1.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1)$

단계 2.5.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1)$

단계 2.5.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = - 1 - 2$

단계 2.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 3$

단계 2.5.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 2.6

$x = - 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $- 3$ 입니다.

$y = - 3$

단계 2.7

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2)$

단계 2.8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2)$

단계 2.8.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (2) = - 4 + 2 (2)$

단계 2.8.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = - 4 + 4$

단계 2.8.2

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (2) = 0$

단계 2.8.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 2.9

$x = 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 2.10

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3)$

단계 2.11

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3)$

단계 2.11.1.2

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (3) = - 9 + 2 (3)$

단계 2.11.1.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (3) = - 9 + 6$

단계 2.11.2

$- 9$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (3) = - 3$

단계 2.11.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 2.12

$x = 3$ 일 때 $y$ 의 값은 $- 3$ 입니다.

$y = - 3$

단계 2.13

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

단계 3

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(1, 1)$

초점: $(1, \frac{3}{4})$

대칭축: $x = 1$

준선: $y = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

단계 4