미적분 예제

$x = y^{2} - 5 y$

단계 1

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$y^{2} - 5 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

단계 1.1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

단계 1.1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$d = \frac{- 5}{2}$

단계 1.1.1.3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{5}{2}$

단계 1.1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.1.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

단계 1.1.1.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{25}{4}$

단계 1.1.1.4.2.2

$0$ 에서 $\frac{25}{4}$ 을 뺍니다.

$e = - \frac{25}{4}$

단계 1.1.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ 에 대입합니다.

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

단계 1.1.2

$x$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

단계 1.2

표준형인 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

단계 1.3

$a$ 값이 양수이므로 이 포물선은 오른쪽으로 열린 형태입니다.

오른쪽으로 열림

단계 1.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

단계 1.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 1.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4}$

단계 1.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열린 경우, 포물선의 초점은 x좌표 $h$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + p, k)$

단계 1.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 6, \frac{5}{2})$

단계 1.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$y = \frac{5}{2}$

단계 1.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 x좌표 $h$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수직선입니다.

$x = h - p$

단계 1.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $h$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$x = - \frac{13}{2}$

단계 1.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 오른쪽으로 열림

꼭짓점: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

초점: $(- 6, \frac{5}{2})$

대칭축: $y = \frac{5}{2}$

준선: $x = - \frac{13}{2}$

방향: 오른쪽으로 열림

꼭짓점: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

초점: $(- 6, \frac{5}{2})$

대칭축: $y = \frac{5}{2}$

준선: $x = - \frac{13}{2}$

단계 2

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 값인 $- 5.25$ 를 $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 5.25, 3.5)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5.25$ 을 대입합니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$4$ 에 $- 5.25$ 을 곱합니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

단계 2.1.2.1.2

$25$ 에서 $21$ 을 뺍니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

단계 2.1.2.1.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

단계 2.1.2.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

단계 2.1.2.1.5

$5$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

단계 2.1.2.2

$7$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$7$ 을 $1 (7)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

단계 2.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.2.1

$2$ 을 $1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

단계 2.1.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

단계 2.1.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

단계 2.1.2.3

최종 답은 $\frac{7}{2}$ 입니다.

$y = \frac{7}{2}$

단계 2.1.3

$\frac{7}{2}$ 를 소수로 변환합니다.

$= 3.5$

단계 2.2

$x$ 값인 $- 5.25$ 를 $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 5.25, 1.5)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5.25$ 을 대입합니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

단계 2.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$4$ 에 $- 5.25$ 을 곱합니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

단계 2.2.2.1.2

$25$ 에서 $21$ 을 뺍니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

단계 2.2.2.1.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

단계 2.2.2.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

단계 2.2.2.1.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

단계 2.2.2.1.6

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

단계 2.2.2.2

$3$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

$3$ 을 $1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

단계 2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.2.1

$2$ 을 $1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

단계 2.2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

단계 2.2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

단계 2.2.2.3

최종 답은 $\frac{3}{2}$ 입니다.

$y = \frac{3}{2}$

단계 2.2.3

$\frac{3}{2}$ 를 소수로 변환합니다.

$= 1.5$

단계 2.3

$x$ 값인 $- 4.25$ 를 $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4.25$ 을 대입합니다.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

단계 2.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$4$ 에 $- 4.25$ 을 곱합니다.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

단계 2.3.2.1.2

$25$ 에서 $17$ 을 뺍니다.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

단계 2.3.2.2

최종 답은 $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

단계 2.4

$x$ 값인 $- 4.25$ 를 $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4.25$ 을 대입합니다.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

단계 2.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$4$ 에 $- 4.25$ 을 곱합니다.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

단계 2.4.2.1.2

$25$ 에서 $17$ 을 뺍니다.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

단계 2.4.2.2

최종 답은 $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

단계 2.5

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

단계 3

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 오른쪽으로 열림

꼭짓점: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

초점: $(- 6, \frac{5}{2})$

대칭축: $y = \frac{5}{2}$

준선: $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

단계 4