미적분 예제

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

단계 1

식 $\frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 2

수직점근선은 무한 불연속인 영역에서 나타납니다.

수직점근선 없음

단계 3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 7}$ 을(를) ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

단계 3.1.2

$2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{2} + 7$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

단계 3.1.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

단계 3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

단계 3.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

단계 3.1.3.4

$2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

단계 3.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.3

${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x^{2} + 7}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

단계 3.4

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x = \sqrt{x^{2}}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5.5

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5.6

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5.7

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 3.5.8

$7$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

단계 3.6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

단계 3.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

단계 3.7.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

단계 3.7.1.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$2 (\frac{1}{1})$

단계 3.7.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{1}{1})$

단계 3.7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \cdot 1$

단계 3.7.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 4

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 7}$ 을(를) ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

단계 4.1.2

$2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{2} + 7$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

단계 4.1.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

단계 4.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

단계 4.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

단계 4.1.3.4

$2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to - \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

단계 4.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.3

${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x^{2} + 7}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

단계 4.4

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.4

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.5

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.6

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.7

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.8

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

단계 4.5.9

$7$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

단계 4.6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

단계 4.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

단계 4.7.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}})$

단계 4.7.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.1

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

단계 4.7.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

단계 4.7.2.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$2 (- \frac{1}{1})$

단계 4.7.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 (- \frac{1}{1})$

단계 4.7.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (- 1 \cdot 1)$

단계 4.7.4

$2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cdot - 1$

단계 4.7.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 5

수평점근선 나열:

$y = 2, - 2$

단계 6

다항식 나눗셈을 통해 사선점근선을 구합니다. 식이 근호를 포함하므로 다항식 나눗셈을 수행할 수 없습니다.

사선점근선을 찾을 수 없음

단계 7

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선 없음

수평점근선: $y = 2, - 2$

사선점근선을 찾을 수 없음

단계 8