미적분 예제

$- 4 x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} + 5 x^{2} - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

단계 1

$y$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 = x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

단계 2

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} = - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

단계 2.2

방정식의 양변에 $5 y^{2}$ 를 더합니다.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} = - 4 x + 4 y - 6$

단계 2.3

방정식의 양변에 $4 x$ 를 더합니다.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x = 4 y - 6$

단계 2.4

방정식의 양변에서 $4 y$ 를 뺍니다.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

단계 2.5

$9$ 에서 $30$ 을 뺍니다.

$- 6 y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

단계 2.6

$- 6 y^{2}$ 를 $5 y^{2}$ 에 더합니다.

$- y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

단계 2.7

$- 4 y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$- y^{2} - 3 y - 21 + 10 x + 17 - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

단계 2.8

$- 3 y$ 에서 $3 y$ 을 뺍니다.

$- y^{2} - 6 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

단계 2.9

$- 6 y$ 에서 $4 y$ 을 뺍니다.

$- y^{2} - 10 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

단계 2.10

$- 21$ 를 $17$ 에 더합니다.

$- y^{2} - 10 y + 10 x - 4 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

단계 2.11

$10 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 4 - 60 - x^{2} = - 6$

단계 2.12

$- 4$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 64 - x^{2} = - 6$

단계 2.13

$- 64$ 를 옮깁니다.

$- y^{2} - 10 y + 14 x - x^{2} - 64 = - 6$

단계 2.14

$- 10 y$ 를 옮깁니다.

$- y^{2} + 14 x - x^{2} - 10 y - 64 = - 6$

단계 2.15

$14 x$ 를 옮깁니다.

$- y^{2} - x^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

단계 2.16

$- y^{2}$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

단계 3

변수를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $64$ 를 더합니다.

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = - 6 + 64$

단계 3.2

$- 6$ 를 $64$ 에 더합니다.

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = 58$

단계 4

방정식의 양변을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$

단계 5

$x^{2} - 14 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

단계 5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2

$- 14$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

단계 5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

단계 5.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 7}{1}$

단계 5.3.2.2.4

$- 7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 7$

단계 5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$- 14$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

단계 5.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{196}{4}$

단계 5.4.2.1.3

$196$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 49$

단계 5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 49$

단계 5.4.2.2

$0$ 에서 $49$ 을 뺍니다.

$e = - 49$

단계 5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x - 7)}^{2} - 49$ 에 대입합니다.

${(x - 7)}^{2} - 49$

단계 6

$x^{2} - 14 x$ 를 ${(x - 7)}^{2} - 49$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ 에 대입합니다.

${(x - 7)}^{2} - 49 + y^{2} + 10 y = - 58$

단계 7

양변에 $49$ 을 더하여 $- 49$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - 7)}^{2} + y^{2} + 10 y = - 58 + 49$

단계 8

$y^{2} + 10 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

단계 8.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 8.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

단계 8.3.2

$10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

단계 8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

단계 8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

단계 8.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{5}{1}$

단계 8.3.2.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 5$

단계 8.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1.1

$10$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

단계 8.4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{100}{4}$

단계 8.4.2.1.3

$100$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 25$

단계 8.4.2.1.4

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 25$

단계 8.4.2.2

$0$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$e = - 25$

단계 8.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y + 5)}^{2} - 25$ 에 대입합니다.

${(y + 5)}^{2} - 25$

단계 9

$y^{2} + 10 y$ 를 ${(y + 5)}^{2} - 25$ 로 바꿔 방정식 $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ 에 대입합니다.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 58 + 49$

단계 10

양변에 $25$ 을 더하여 $- 25$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 58 + 49 + 25$

단계 11

$- 58 + 49 + 25$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$- 58$ 를 $49$ 에 더합니다.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 9 + 25$

단계 11.2

$- 9$ 를 $25$ 에 더합니다.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$

단계 12

원의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 원의 중심과 반지름을 구합니다.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

단계 13

이 원에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $r$ 은 원의 반지름을 나타내며 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리를 나타냅니다.

$r = 4$

$h = 7$

$k = - 5$

단계 14

원의 중심은 $(h, k)$ 에 있습니다.

중심: $(7, - 5)$

단계 15

이는 원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(7, - 5)$

반지름: $4$

단계 16