미적분 예제

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{8}$ , $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.2.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.3.4.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

단계 1.1.3.5

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

단계 1.1.3.6

${(x - 1)}^{7}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ 에서 $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.1

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ 에서 $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

단계 1.1.4.1.2

$8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ 에서 $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

단계 1.1.4.1.3

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ 에서 $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

단계 1.1.4.2

$x$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ 입니다.

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

단계 2.3

$x^{7}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x^{7}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{7} = 0$

단계 2.3.2

$x^{7} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

단계 2.3.2.2

$\sqrt[7]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{7}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

단계 2.3.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 2.4

${(x - 1)}^{6}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

${(x - 1)}^{6}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 1)}^{6} = 0$

단계 2.4.2

${(x - 1)}^{6} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.4.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.5

$7 x + 8 (x - 1)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$7 x + 8 (x - 1)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

단계 2.5.2

$7 x + 8 (x - 1) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$7 x + 8 (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

단계 2.5.2.1.1.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$7 x + 8 x - 8 = 0$

단계 2.5.2.1.2

$7 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$15 x - 8 = 0$

단계 2.5.2.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$15 x = 8$

단계 2.5.2.3

$15 x = 8$ 의 각 항을 $15$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

$15 x = 8$ 의 각 항을 $15$ 로 나눕니다.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

단계 2.5.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.3.2.1

$15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

단계 2.5.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{8}{15}$

단계 2.6

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 {((0) - 1)}^{7}$

단계 4.1.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0 {(- 1)}^{7}$

단계 4.1.2.3

$- 1$ 를 $7$ 승 합니다.

$0 \cdot - 1$

단계 4.1.2.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

단계 4.2.2.2

${((1) - 1)}^{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${((1) - 1)}^{7}$

단계 4.2.2.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0^{7}$

단계 4.2.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0$

단계 4.3

$x = \frac{8}{15}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $\frac{8}{15}$ 를 대입합니다.

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$\frac{8}{15}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

단계 4.3.2.2

$8$ 를 $8$ 승 합니다.

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

단계 4.3.2.3

$15$ 를 $8$ 승 합니다.

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

단계 4.3.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

단계 4.3.2.5

$- 1$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

단계 4.3.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

단계 4.3.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.7.1

$- 1$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

단계 4.3.2.7.2

$8$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

단계 4.3.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

단계 4.3.2.9

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.9.1

$- \frac{7}{15}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

단계 4.3.2.9.2

$\frac{7}{15}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

단계 4.3.2.10

$- 1$ 를 $7$ 승 합니다.

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

단계 4.3.2.11

$7$ 를 $7$ 승 합니다.

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

단계 4.3.2.12

$15$ 를 $7$ 승 합니다.

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

단계 4.3.2.13

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.13.1

$\frac{16777216}{2562890625}$ 에 $\frac{823543}{170859375}$ 을 곱합니다.

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

단계 4.3.2.13.2

$16777216$ 에 $823543$ 을 곱합니다.

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

단계 4.3.2.13.3

$2562890625$ 에 $170859375$ 을 곱합니다.

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

단계 5