미적분 예제

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $20 x^{3} - 3 x^{5}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $20 x^{3}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{5}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.1.3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

단계 1.1.3.3

$5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

단계 1.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ 입니다.

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

단계 2.2.2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

단계 2.2.3

$- 15 u^{2} + 60 u$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$- 15 u^{2}$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (- u) + 60 u = 0$

단계 2.2.3.2

$60 u$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

단계 2.2.3.3

$15 u (- u) + 15 u (4)$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (- u + 4) = 0$

단계 2.2.4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$- x^{2} + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- x^{2} + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x^{2} + 4 = 0$

단계 2.5.2

$- x^{2} + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = - 4$

단계 2.5.2.2

$- x^{2} = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$- x^{2} = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.5.2.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 4$

단계 2.5.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 2.5.2.4

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 2.5.2.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 2.5.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 2.5.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 2.5.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 2.6

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2, - 2$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $20 x^{3} - 3 x^{5}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$20 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$20 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

단계 4.1.2.1.2

$20$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 3 {(0)}^{5}$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 3 \cdot 0$

단계 4.1.2.1.4

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 4.2

$x = 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$20 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{5}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$20 \cdot 8 - 3 {(2)}^{5}$

단계 4.2.2.1.2

$20$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$160 - 3 {(2)}^{5}$

단계 4.2.2.1.3

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$160 - 3 \cdot 32$

단계 4.2.2.1.4

$- 3$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$160 - 96$

단계 4.2.2.2

$160$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$64$

단계 4.3

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$20 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{5}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$20 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{5}$

단계 4.3.2.1.2

$20$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 160 - 3 {(- 2)}^{5}$

단계 4.3.2.1.3

$- 2$ 를 $5$ 승 합니다.

$- 160 - 3 \cdot - 32$

단계 4.3.2.1.4

$- 3$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$- 160 + 96$

단계 4.3.2.2

$- 160$ 를 $96$ 에 더합니다.

$- 64$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (2, 64), (- 2, - 64)$

단계 5